ARS DEMOSTRANDI Funzioni e didattica di una difficile arte del pensiero. Convincere, argomentare, dimostrare Socrate e lo schiavo Serve ancora linsegnante? Come mai si è sviluppata una ricerca sulla
dimostrazione? La dimostrazione nella ricerca e nella prassi didattica Da qualche anno fioriscono, in Italia e allestero, progetti di ricerca didattica che hanno come oggetto di studio lattività dimostrativa. Curiosamente tutto ciò accade proprio quando nella prassi didattica la dimostrazione assume sempre meno importanza, forse perché ritenuta attività eccessivamente difficile per gli studenti. Tra laltro il progressivo abbandono dellattività dimostrativa ha come perversa ricaduta leccessivo ridimensionamento della geometria sintetica, visto che, a torto o a ragione, la tradizione affidava alla geometria euclidea il compito di avviare i giovani alla dimostrazione. Attualmente, tranne forse che nelle scuole a carattere liceale, la prassi è quella di sostituire progressivamente la geometria sintetica con quella analitica, Euclide con Cartesio. Ciò che stupisce, però, è il taglio che in genere viene dato alla geometria analitica: del metodo di Cartesio, caratterizzato per la ricerca della dimostrazione mediante analisi (partire dalloggetto cercato come se già fosse dato per risalire da esso alle ipotesi del problema) e per lutilizzazione delle nozioni e delle tecniche dellalgebra, che cosa rimane? Sembra che per gli studenti la geometria analitica si caratterizzi unicamente come tecnica efficace a risolvere problemi, a calcolare e, come tale estranea, se non addirittura contrapposta alla dimostrazione, che, invece, caratterizzerebbe la geometria euclidea. Ciò potrebbe dipendere dal fatto che raramente si utilizza la geometria analitica per effettuare dimostrazioni o per cercarle. Non ci sembra che, nella prassi scolastica, emerga una particolare attenzione alla riflessione sulla dimostrazione come oggetto di studio nei suoi differenti aspetti, sia per quel che riguarda le funzioni (scoprire, convincere, validare, sistemare, precisare la nozione di conseguenza logica fra la proposizione da dimostrare e gli assiomi della teoria...), sia per quel che riguarda i vari aspetti (logici, epistemologici, cognitivi...), sia, infine, per quel che riguarda i contesti duso (generalizzazione, spiegazione, comunicazione....). In sintesi possiamo dire che la situazione attuale è caratterizzata da una crescente attenzione del mondo della ricerca didattica per la dimostrazione come oggetto di studio e da crescenti disaffezione e disinteresse per tale problematica da parte degli insegnanti. In Italia In questo lavoro ci proponiamo di presentare alcuni aspetti generali della ricerca: In una delle schede di geometria abbiamo invece costruito un esempio di attività in classe. L importanza della dimostrazione nella formazione matematica Ci sono motivi ben precisi per cui la ricerca didattica sta dimostrando sempre più attenzione alla dimostrazione come oggetto di didattica.
Il progetto di ricerca che presentiamo si caratterizza per:
In questo articolo ci occupiamo principalmente del passaggio dalla dimostrazione per convincere alla dimostrazione per spiegare allinterno di una teoria. Le diverse funzioni della dimostrazione Cerchiamo di comprendere attraverso un esempio famoso la differenza fra la funzione della dimostrazione come ragionamento atto a convincere e la funzione della dimostrazione come mezzo di spiegazione allinterno di una teoria. Una delle prime testimonianze dirette di una dimostrazione si trova in un dialogo di Platone, il Menone, scritto nel quarto secolo a. C. In questo caso la dimostrazione può essere addirittura confusa con unargomentazione atta a far scoprire allo schiavo una verità geometrica. Nel dialogo Socrate mostra a Menone come uno schiavo illetterato possa, se opportunamente guidato, giungere a ricostruire una dimostrazione di un risultato matematico e, cioè, che, dato un quadrato ABCD, il quadrato costruito sulla diagonale AC è il doppio di ABCD. Il dialogo fra Socrate e lo schiavo si gioca tutto su una successione di domande, risposte e suggerimenti che portano alla fine lo schiavo alla risposta corretta. Le domande e i suggerimenti di Socrate hanno lo scopo di arrivare a enunciati che lo schiavo condivide, perché è in grado, grazie allazione maieutica di Socrate, di ricordare. Anche nellattività matematica odierna si conducono alcune dimostrazioni sulla falsariga del dialogo platonico. Vi è però una differenza sostanziale: la dimostrazione di Socrate si basa su nozioni comuni che, però, non vengono esplicitate allinizio del dialogo. Tali nozioni sono per così dire implicitamente condivise da Socrate, da Menone e dallo schiavo e vengono esplicitate solo nel momento in cui sono necessarie a proseguire nellargomentazione. Da Euclide in poi, una dimostrazione è invece eseguita allinterno di una teoria nella quale gli enunciati condivisi sono esplicitati allinizio dellattività dimostrativa. E questa è una prima differenza con le argomentazioni, dove gli enunciati condivisi non sempre vengono esplicitati. Ma vi sono diversi modi di convincere, di giustificare: in Cina e in India, per esempio, si utilizzavano le cosiddette dimostrazioni visive, che oggi sono tornate in auge con la computer graphic. Il disegno era considerato sufficiente a spiegare, a giustificare. Se si pensa alletimologia del termine teorema, che vuol dire spettacolo, rappresentazione, queste diverse forme di dimostrazione di un teorema non sono poi così strane. Le nostre tradizioni culturali ci hanno portato a identificare la dimostrazione con un discorso: la rappresentazione è sul piano del dire, più che del vedere e, in ogni caso, queste tradizioni hanno subito varie modifiche, tanto è vero che il concetto attuale di dimostrazione (e quindi anche quello di teorema) sono assai diversi da quello che erano per Euclide. La tradizione euclidea ha dovuto fare i conti con Cartesio e largomentazione ha dovuto fare i conti con i calcoli. Ma quanti sono gli studenti che hanno capito che anche in algebra e in geometria analitica si dimostra? Per gli studenti in algebra non cè alcunché da dire: non si argomenta e, quindi sembra di non dimostrare. I segni del linguaggio algebrico sono nati per essere manipolati; in un certo senso è come se contenessero essi stessi dei pezzi di dimostrazione, è come se dei passi di dimostrazione fossero già incorporati in quei segni. Proprio questa facilità di manipolazione, di trasformazione dei segni del linguaggio algebrico nasconde agli studenti lattività dimostrativa in algebra. In algebra sembra che non si dimostri perché non cè niente da dire. I segni sono autosufficienti. E non ci si accorge di dimostrare, anche perché il senso della dimostrazione come calcolo è estraneo allo studente medio. Laspetto della dimostrazione come calcolo, che pure da Cartesio a Hilbert ha fortemente caratterizzato la nostra tradizione, non viene in genere colto a scuola. Per lo studente i segni del linguaggio algebrico non sono apprezzati come mediatori, come facilitatori dellattività dimostrativa e proprio questa mancanza di apprezzamento rivela la non comprensione, da parte degli studenti, dellidea di Cartesio, alla cui geometria, pure, si dedica non poco spazio. In geometria sintetica è diverso: le figure non consentono facili manipolazioni come le lettere. Per operare su una figura ho bisogno di aiutarmi con il discorso. Devo dire che cosa sto facendo, perché lo voglio e perché lo posso fare. Si assiste a una sorta di situazione paradossale che può essere così descritta: in geometria la rappresentazione è molto vicina alloggetto, ma è difficilmente manipolabile, trasformabile e quindi è lontana dallo spiegare il perché loggetto rappresentato gode di certe proprietà. In algebra le rappresentazioni sono lontane dalloggetto, ma sono facilmente manipolabili, trasformabili e quindi sono particolarmente adeguate a esprimere dimostrazioni. Ma si tratta di dimostrazioni che si differenziano fortemente dalle argomentazioni. La rottura, le discontinuità tra argomentazioni e dimostrazioni condotte trasformando i segni di un linguaggio come quello dellalgebra sono fortissime. Ma non sono solo gli aspetti della dimostrazione legati al calcolo che non vengono colti dagli studenti. Anche la funzione della dimostrazione come conseguenza logica fra assiomi e teoremi di una teoria non viene apprezzata. Per apprezzare questa funzione è necessario aver compreso limpianto del sistema assiomatico deduttivo. La logica della mente e la logica della matematica Il punto decisivo è la nozione di regola inferenziale. In classe durante unattività dimostrativa esplicitiamo gli assiomi di una teoria ma non sentiamo il bisogno di esplicitare le regole inferenziali utilizzate nelle dimostrazioni in quella teoria. Ebbene una delle cause più forti di discontinuità tra argomentazioni e dimostrazioni sta proprio nel fatto che quando argomentiamo o dimostriamo utilizziamo regole inferenziali fortemente differenti. Le regole delle argomentazioni non sempre sono in consonanza con le regole inferenziali della logica classica che utilizziamo, più o meno esplicitamente quando dimostriamo, ma, anzi, spesso sono contro di esse. Quando argomentiamo tendiamo ad avvicinarci alle regole della logica con la quale la mente umana interpreta la realtà. Per esempio dal fatto che Joe è un uccello concludiamo che possa volare, essendo pronti a ritrattare la conclusione se nuove informazioni ci dicono che Joe è uno struzzo o che Joe ha un'ala rotta. Il ragionamento di senso comune non è monotono. Le conclusioni che traiamo in genere sono solo di carattere probabilistico e nuove informazioni possono modificarle sostanzialmente. In genere ragioniamo su esempi tipici e da essi traiamo conseguenze che siamo pronti a ritrattare se scopriamo di trovarci in situazioni atipiche. Questo atteggiamento è necessario per effettuare inferenze in tempi ragionevoli. Nella logica dimostrativa non è così. L'inferenza logica utilizzata è monotona, ossia nuove premesse non possono diminuire il numero di conclusioni che si è in grado di fare con un insieme dato di premesse. La verità delle conclusioni risulta invariante per ogni possibile interpretazione. Gli studenti nei loro ragionamenti, usano regole logiche nello stesso modo in cui funziona la mente umana, ossia il modo in cui interpreta la realtà quotidiana. Avviene così che il modo di compiere inferenze logiche per convincere di una dimostrazione sia differente da quello per dimostrare allinterno di una teoria. Altre regole che gli studenti fanno più fatica ad accettare sono quelle dell'introduzione della disgiunzione, perché sono più inclini a dire tutta la verità, come si deve fare in un tribunale, piuttosto che la verità. Per esempio, ben pochi studenti accettano linferenza x2 + 1 > 0, quindi x2+1 è maggiore o uguale di 0. Anche nellanalisi di una proposizione del tipo Ogni numero primo è dispari, gli studenti tendono a dire che la proposizione è vera tranne che per 2. In altri termini, anche quando trovano un controesempio non considerano falsa la proposizione, ma restringono il dominio della stessa. Questo è un atteggiamento pienamente giustificato nellambito del comportamento quotidiano e, quindi, nellambito del ragionamento di senso comune: sapendo che una determinata situazione vale tranne che in alcuni casi, che ragione cè di considerarla falsa con la conseguenza (relativamente al senso comune) di rifiutare le informazioni che la stessa proposizione fornisce? Molto meglio precisarne le condizioni di validità. Un mediatore per il passaggio dalle argomentazioni alle dimostrazioni E possibile individuare una strategia che permetta un passaggio dalle argomentazioni alle dimostrazioni. È stato osservato che se si impegna lo studente in unattività che richiede e favorisce la produzione di congetture, nella seguente attività di costruzione della dimostrazione/confutazione delle congetture prodotte, allora lo studente riesce a organizzare questi processi in maniera coerente. In altri termini, gli studenti che hanno un discreto successo nellattività dimostrativa, sono quelli maggiormente attivi nella produzione di congetture e, soprattutto, nellesplorazione dinamica degli enunciati da testare. Detto ancora altrimenti: sembra che assegnare agli studenti un compito del tipo dimostra che inibisca le capacità degli studenti a dimostrare. E invece opportuno assegnare agli studenti compiti che favoriscano lesplorazione dinamica degli enunciati e la loro trasformazione. Partendo da queste considerazioni, abbiamo cercato opportuni mediatori che favorissero questa esplorazione dinamica, che consentissero la costruzione di una continuità cognitiva dalle argomentazioni (accettate dagli studenti) alle dimostrazioni (ostiche per gli studenti). Abbiamo ipotizzato che un adeguato mediatore per le dimostrazioni in geometria potesse essere il software Cabri. La funzione di Cabri è duplice: vi è una funzione strumentale, nel senso che sulle figure create da Cabri si può agire, lavorare; esse possono essere manipolate facilmente. Diventano per gli studenti veri e propri oggetti, che, per la loro dinamicità, sono assai più vicini alle figure geometriche, rispetto a quelli del disegno. Quelle di Cabri sono appunto figure e non solo disegni, perché è sempre presente in maniera più o meno esplicita il modo in cui sono state costruite. Le modifiche sulle figure, inoltre, si fanno interagendo con il programma e quindi con la teoria che è ad esso soggiacente. La funzione di trascinamento che possiede il software infatti consente di modificare un disegno appena fatto (per esempio un poligono) trascinandone una parte (un suo vertice), senza mutarne però le proprietà interne (per esempio il parallelismo di due lati). Il disegno iniziale si trasforma in una successione di figure che mantengono inalterate le loro relazioni interne secondo l'algoritmo di costruzione. La potenzialità di questo strumento consiste nell'offrire allo studente la possibilità di scoprire proprietà, invarianti, regolarità, differenze, che dal semplice disegno su carta non risulterebbero così visibili (a meno di simulare su carta il lavoro di Cabri, disegnando numerosi casi diversi della stessa figura, ma ciò richiederebbe un tempo enormemente più lungo). Un'attività di questo tipo favorisce la scoperta, la congettura, l'argomentazione in misura superiore al classico strumento carta e matita. Vi è poi una funzione semiotica: le figure di Cabri permettono allo studente di osservare prodotto e processo e, quindi, non solo il lavoro fatto, ma anche quello che si sta facendo e quello ancora da fare. Sempre grazie al trascinamento, lo studente che osserva la figura costruita in Cabri sullo schermo ha a disposizione contemporaneamente il disegno vero e proprio e il risultato dell'algoritmo di costruzione che ha condotto a quel disegno, quindi nuovamente le possibilità offerte dal programma sono molteplici. In primo luogo, l'allievo può controllare la correttezza dell'algoritmo di costruzione applicato: per esempio, se ha disegnato due lati paralleli solo a occhio e non con un comando di parallelismo, trascinando il disegno fatto si accorge dell'errore, perché il parallelismo viene a mancare. Quindi può intervenire sul disegno modificandone l'algoritmo di costruzione. Questo costituisce un punto di forza di Cabri, perché consente all'insegnante di ricuperare quella parte della geometria diventata altrimenti obsoleta: i problemi di costruzione con riga e compasso, che sono un'occasione per riflettere su assiomi e proprietà della geometria di Euclide. In secondo luogo, trascinare per esempio un triangolo per un vertice offre la possibilità allo studente di osservare come si modifica il triangolo, passando attraverso configurazioni particolari come quella di isoscele, o scaleno, o rettangolo, distinguendo tra proprietà che valgono in generale (per qualunque tipo di triangolo, dunque per il triangolo generico), da proprietà che valgono in particolare per certi tipi di triangoli. Cabri è uno strumento che favorisce sì l'attività di argomentazione legata alla scoperta di una o più congetture, ma anche quella di dimostrazione, perché consente agli allievi di "costruire" davanti allo schermo pezzi di dimostrazione immediatamente in seguito alla produzione di congetture, o di appoggiarsi ad argomentazioni formulate durante un'esplorazione dinamica di una figura. Ovviamente Cabri non è un dimostratore di teoremi, più semplicemente un mediatore: l'attività di elaborazione e di stesura di una dimostrazione, come concatenazione di proposizioni in conseguenza logica, spetta sempre allo studente, che però può avvalersi di un supporto molto valido. Il quadro pedagogico di riferimento Serve ancora linsegnante o le nuove tecnologie prevedono un indebolimento della sua funzione ? La nostra esperienza ci porta a concludere che il suo ruolo di mediatore si accresce. Infatti lelemento chiave per la riuscita dellapprendimento secondo le modalità descritte è senza dubbio lazione del docente, che regola lintroduzione e luso di strumenti didattici non tradizionali e differenziati, come Cabri; il lavoro in piccoli gruppi; le discussioni matematiche in classe; opportuni supporti, come gli schemi di deduzione . nelle varie sperimentazioni seguite abbiamo osservato che quanto detto da George Polya " prima ci si convince e poi si è pronti e motivati a dimostrare" risulta valido. Ove linsegnante è riuscito a creare negli studenti attenzione verso altri sensi della dimostrazione che non siano solo quelli del convincere o del verificare, le attività in ambiente Cabri hanno fatto nascere in loro la necessità, il bisogno intellettuale di capire perché una certa proprietà (della cui verità erano assolutamente convinti) fosse vera. Ciò conferma la nostra convinzione che la sempre maggiore ricchezza di strumenti a disposizione dellazione didattica non indebolisce, ma rafforza la necessità di una presenza attiva dellinsegnante in classe. Per concludere possiamo dire che una buona tecnologia, da sola, non garantisce un miglioramento dellazione didattica: è luso che se ne fa, è la progettualità che creano le basi per il successo. In tal senso ogni nuova tecnologia o metodologia non sollevano linsegnante da compiti o responsabilità, ma, al contrario, lo responsabilizzano maggiormente e lo caricano del compito di fare in modo che le nuove tecnologie, le nuove metodologie diano effettivamente qualcosa in più rispetto a quelle tradizionali. |
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